Thử n=1 là thấy sai đề nha

\(P\left(n\right)=2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\dfrac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)     (1)

\(n=1\) ta có: \(P\left(n\right)=2^2=\dfrac{2\cdot2\cdot3}{3}=4\)    => (1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n tức là \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\dfrac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)

Ta sẽ c/m (1) đúng với n+1

Có \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2+\left(2n+2\right)^2\)

\(=\dfrac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}+4\left(n+1\right)^2\)

\(=\left(n+1\right)\dfrac{2n\left(2n+1\right)+12\left(n+1\right)}{3}=\dfrac{\left[2n+2\right]\left(n+2\right)\left(2n+3\right)}{3}\)

=> (1) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)

\(1^2+2^2+3^2+.......+n^2=1\times\left(2-1\right)+2\times\left(3-1\right)+.......+n\left(\left(n+1\right)-1\right)\)=\(\left(1.2+2.3+3.4+......+n\left(n+1\right)\right)-\left(1+2+3+.....+n\right)\)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-0.1.2}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

sử dụng qui nạp: 
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n² = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*) 
(*) đúng khi n= 1 
giả sử (*) đúng với n= k, ta có: 
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) (1) 
ta cm (*) đúng với n = k +1, thật vậy từ (1) cho ta: 
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² + (k + 1)² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) + (k + 1)² 
= (k+1)\(\left(\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)\right)\)= (k + 1)\(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k^2+7k+6}{6}\) = (k + 1)\(\frac{2k^2+4k+3k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)}{6}\) = (k + 1)\(\frac{\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
vậy (*) đúng với n = k + 1, theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*

Hồng Trinh đúng rồi nhưng mà dùng quy nạp cơ

BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?

Nếu có thì bn xem nhé!

Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn

Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!

                          Bài 1: 

   (1 - 2 + 3 - 4+ ... - 96 + 97 - 98 + 99).\(x\) = 2000

Đặt A = 1 - 2 + 3  - 4 +...- 96 + 97 - 98 + 99 

Xét dãy số: 1; 2; 3; 4;...;96; 97; 98; 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (99 - 1): 1 +  = 99

                  Vì 99 : 2 = 49 dư 1

Nhóm 2 số hạng liên tiếp của A thành một nhóm thì A là tổng của 49 nhóm và 99

A = 1 - 2 + 3  - 4 + ... - 96 + 97 - 98 + 99

A = (1- 2) + (3 - 4)+ ...+ (97 - 98) + 99

A =   - 1 + (-1) + (-1) +...+ (-1) + 99

A = -1.49 + 99

A = -49 + 99

A = 50 Thay A = 

Vậy 50.\(x\) = 2000

            \(x\) = 2000 : 50

             \(x\) = 40

2, n và n + 1

Gọi ước chung lớn nhất của n và n + 1 là d

Ta có: n ⋮ d;  n + 1 ⋮ d 

⇒ n + 1  - n ⋮ d 

                1 ⋮ d

                d = 1

Vậy ƯCLN(n +1; n) = 1 Hay  n + 1; n là hai số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

b, 2n và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

    Gọi ƯCLN( 2n; 2n + 3) = d

⇒ 2n ⋮ d; 2n + 3 ⋮ d

⇒ 2n + 3  - 2n ⋮ d

            3         ⋮  d

           d = 1; 3

2n và 2n + 3 không thể là hai số cùng nhau